그 유명한 옴의 법칙부터 시작을 해보도록 하겠습니다. 옴의 법칙이란 저항 R 에 전류 i 가 흐를때 생기는

전압강하 V 는 저항에 전류를 곱한값과 같다는 것입니다.  수식으로 표시하면 V = i R 로서 표시된다는 것입니다.

그림으로 그려서 생각해 보겠습니다.

그렇다면 인덕터나 캐패시터에 전류가 흐르는 경우 전압과는 어떠한 관계가 있을까요?

우선 인덕터에 대해 생각해 보겠습니다. 인덕터의 인덕턴스를 L 헨리라 하고, 인덕터에 전류 i 가 흐른다면

전압강하 V는  V =  L di /dt 라는 관계를 가집니다. 따라서  다음 그림과 같이 표시할수 있습니다.

여기서  di/dt의 의미는 전류 i를 시간 t로 미분한 것이기 때문에 옴의 법칙과는 아무런 관련이 없어

보입니다.   하지만  di/dt를 d/dt × i 로 쓸수 있다면 V = L d/dt × i 가 되어  L d/dt 를 저항과 동일하게 취급할수가

있게 됩니다. 그림으로 설명해 보죠.

di/dt를 d/dt × i 로 쓸수있다는 생각은 영국의 위대한 전기공학자이며, 수학자이자 물리학자인

Oliver Heaviside 에 의해 처음으로 제안되었으며, 그가 d/dt를 p로 대치시켜 사용했기 때문에 여기서도

d/dt를 p로 쓰도록 하겠습니다. 하지만 Heaviside이후 라플라스 변환(Laplace Transformation)이 Heaviside의

p연산자와 동일한 개념이라는 것이 알려지면서 p대신 s를 많이 사용하고 있습니다. p나 s나 같은 의미이기 때문에

저는 p를 그대로 사용하기로 하겠습니다. 20세기 중반부터 집합론을 기반으로한 추상대수학이

꽃을 피우기 시작하면서 부터  이분야는 선형연산자라는 학문으로 발전하게 되지만 공학을 다루는 우리로서는

수학적 엄밀성을 추구하기 보다는 개념을 이해하고 그것을 응용하는것에 만족하는것이 좋을것 같습니다.

이번에는 캐패시터에 대해 생각해 보겠습니다. 정전용량이 C 패러드인 캐패시터에 전류 i 가 흐를때 전압과

전류사이에는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

따라서 다음 그림과 같이 됩니다.

이경우에도 마찬가지로  ∫ i dt 를 i × ∫ dt로 쓸수 있다면  V = ( 1/C × ∫ dt ) × i 가 되어 1/p = ∫ dt 로 두면

V = (1/Cp) i 로 쓸수 있으므로 1/Cp를 저항과 동일하게 취급할수 있다는 결론에 도달하게 됩니다.

그런데 왜 p가 d/dt일때 1/p는 ∫ dt 가 될까요? 그이유는 V = 1/C ∫ i dt 의 양변을 t 에 대해 미분해보면

dV/dt = 1/C i 이므로 pV = (1/C) i 로 쓸수있고, 양변을 p로 나누면 V = (1/C × 1/p) i 가 되기때문에 1/p 는  ∫ dt 와

같다고 말할수 있다는 것이죠. 그림으로 그려보면

가 성립한다는 것입니다. 따라서 저항과 캐패시터, 인덕터로 구성된 전기회로가 있을때 지금까지 설명한 내용을

이용하면 저항만으로 구성된 회로로 바꾸는 것이 가능하다는 것입니다.

예를들어 설명해 보도록 하겠습니다. 구하려는 회로가 다음과 같다고 하겠습니다.

전압과 전류의 관계식을 구하기 위해서는 우선 캐패시터와 인덕터를 저항으로 바꿔줘야 합니다.

위에서 설명한 사항을 이용하여 인덕터 L은  값이 Lp인 저항으로, 캐패시터 C는 값이 1/Cp인 저항으로 대치시키면

위의 회로는 다음과 같은 등가회로로 바뀌게 됩니다.

 이제 위의 식에 옴의 법칙과 키르히호프의 법칙을 적용해 보면 다음과 같은 식을 얻습니다.

 이항시켜 정리하면, CR2(pV) +V = CR1R2pi + iR1 + Lp i + i

 p = d/dt를 대입하면 위의 식은 다음과 같이 됩니다.

위의 식이 우리가 구하려는 전류와 전압간의 관계식인데, 통상적으로 V는 알려진 함수이므로

위의 식은 상수계수를 가지는 1계 상미분방정식을 푸는 문제로 귀결되게 됩니다.

지금까지 설명한 내용이 전기회로 이론의 전부라고 말한다 해도 과언이 아니라고 저는 생각합니다.